-  L e b e n s l a u f  d e s  A u t o r s -

Winrich Rentz, *1939
Studium der evangelischen Theologie
1958 – 1964
Vikariat, kirchlicher Dienst, Ordination
1964 – 1969
Studium der Mathematik (Lehramt fürs Gymnasium)
1958 – 1960, 1969 – 1971
Studienreferendariat
1971 – 1972
Schuldienst (Fächer: Mathematik und evangelische Religionslehre)
1972 – 2001
Lehrender in Mathematikdidaktik für Sekundarstufe II an der Universität Bielefeld
1989 – 2001

K o n s t r u k t   -   V e r t r a u e n   -

O r i e n t i e r u n g

Zusammenhänge zwischen theologischem und mathematischem Denken

(Überarbeitung und Erweiterung eines Vortrages vor einem Kreis des Evangelischen Forums Westfalen am 17.11.2017 in Bielefeld; der Text wurde durch hier weggelassene Graphiken unterstützt.)

H i n f ü h r u n g   z u m   T h e m a

Der Titel besteht aus einem mehr plakativen ersten und einem sachlicheren zweiten Teil. Wie passen die genannten Begriffe zusammen?

Ein spontaner Eindruck ist vermutlich: "Orientierung" bieten beide Disziplinen an. Doch "Konstrukt" passt eher zur "Mathematik". Denn da wird konstruiert und berechnet. Die Ergebnisse sind sicher und zuverlässig, wenn man sich nicht verrechnet. Zur "Theologie" dagegen gehört eher "Vertrauen". Denn da muss man (fast) alles glauben, womöglich blind.

Natürlich ist diese Sicht zumindest eine starke Vergröberung. Ich meine sogar: Mathematik und Theologie sowie ihre Denkweisen haben mehr miteinander gemein als auf den ersten Blick erkennbar. Ihre Vertreter/innen eint eine spezielle, ihnen selbst selten bewusste Übereinstimmung: der Gedanke, Zugang zu einer überlegenen Wahrheit, ja einen Zugriff auf sie zu haben, der anderen verwehrt ist. Dabei könnte es gerade anders sein: Mathematik und Theologie sind beide in einem "Allmachts-Ohnmachts-Wahn" (H. E. Richter) befangen.

Doch zurück zur Ausgangsfrage. Im Folgenden möchte ich einige Überlegungen vorstellen, die diese allzu simple Zuordnung korrigieren; nicht umfassend, nicht systematisch, aber als Ergebnis eines langen, professionellen Umgangs mit (evangelischer) Theologieund mit Mathematik. Dabei möchte ich sehr "eklektisch" vorgehen und auf Belege wie Referenzen weitgehend verzichten. Dem Kundigen dürften die skizzierten Sachgebiete nicht ganz fremd sein.

N a v i g a t i o n

Früher brauchte man zum Navigieren bei Dunkelheit, aber klarer Sicht in Küstennähe das Aufblinken von mindestens drei Leuchttürmen A, B, C, um die eigene Position P auf der Seekarte zu bestimmen. Dafür waren die Winkelabstände α zwischen A und B sowie β zwischen B und C zu messen. Denn nach einem geometrischen Satz liegen alle und nur die Punkte, von denen aus eine Strecke unter dem gleichen Winkel erscheint, auf einem bestimmten Kreis. P ist dann auf der Karte der Schnittpunkt jener zwei Kreise. (Für Fußballfans: Auch ein Torjäger sieht die Strecke zwischen den beiden Pfosten unter dem gleichen Winkel, wenn er sich auf einem bestimmten Kreis bewegt.)

Von übergeordneter Warte aus lässt sich nun fragen: Was ist die Grundlage der angedeuteten Konstruktion? Bereits Land- und Seekarten sind das Ergebnis eines langen Abstraktionsprozesses. Generationen von Seeleuten, Geographen, Astronomen, auch von Mathematikern haben ihre Beobachtungen und Messungen zusammengetragen. Experten haben Karten hergestellt, nach mathematischen Regeln schließlich, die der Nutzer meist gar nicht kennt. Denn

d e r   v e r t r a u t  dem Sachverstand einer langen Tradition. Das galt zum Beispiel beimGebrauch eines Magnet- oder eines Kreisel-Kompasses, so wie es heute erst recht bei der Nutzung viel modernerer Technik geschieht. Der Nutzer verlässt sich auf eine "Wolke von Zeugen" (Hebr.12, 1) und trifft danach unter Umständen lebensrettende Entscheidungen.

Aber auch die oben genannte geometrische Konstruktion beruht auf einem Vertrauensfundament. Denn nicht nur verlässt sich der Navigator auf die Entwickler des Verfahrens. Vielmehr haben schon diese, die geometrischen Fachleute, Vertrauen in die eigenen Herleitungen investiert und neues Vertrauen durch sie hinzugewonnen. Ohne "Vertrauen" und "Wagnis", auf den ersten Blick eher theologische Begriffe, kommt hier nichts zustande. Das gilt schon für Mathematiker wie Thales, Pythagoras oder Euklid. Vielen unserer Zeitgenossen ist dies auch deshalb kaum bewusst, weil sie in einer Art fides implicita ("eingefalteter Glaube") sagen: Lass das ruhig die Fachleute machen; die werden es schon wissen. Dies wiederum liegt - auch - an der fachspezifischen Symbolik, die häufig abschreckt.

U n e n d l i c h   u n d   E w i g

A. T h e o l o g i s c h

Vermutlich macht das Bewusstsein vom eigenen Ende wesentlich das Menschsein aus. Wir sind überzeugt: Der Mensch und nur er  w e i ß , dass  e i n  Schritt, e i n  Atemzug sein letzter sein wird. Biblisch gesprochen ist diese Erkenntnis mit der Vertreibung aus dem Paradies verbunden, mit dem Eintritt in die Sterblichkeit.

Zugleich erwacht eine Hoffnung und die Sehnsucht nach Dauer und Überwindung der eigenen Grenzen. Bedeutungsschwach fühlen sich Menschen zumal in vergangenen Zeiten nicht zuletzt dann, wenn sie kinderlos alt werden ("Was wird von mir bleiben?").

Als Muster ziehe ich das Ehepaar  A b r a h a m  –  S a r a  und den "Bund" seines Gottes mit ihm heran. Als den beiden gegen alle Erfahrung der versprochene gemeinsame Sohn Isaak geschenkt, aber als gefordertes Opfer beinahe wieder genommen ist, wird der Segen feierlich bekräftigt: Ich will eure Nachkommen "überaus zahlreich machen wie die Sterne des Himmels und wie den Sand am Ufer des Meeres". Ungesagt bleibt: Kannst du die Sterne, die Sandkörner zählen? - Nein, natürlich nicht (Gen. 22).

Dies ist - egal wann so formuliert - ein früher Beleg, ja geradezu der Ursprung des "Bündnisses" des Gottes Jahwe mit seinem Volk, das vorerst nur durch das Stammeltern-Paar repräsentiert wird. Dem Bund mit Abraham / Sara werden weitere Bünde folgen. Eine Aufgabe der (exegetischen = Texte des AT und NT auslegenden) Theologie ist es, die vielschichtigen Traditionsstränge herauszuarbeiten und in ein stimmiges Gefüge zu bringen. Systematische Theologie hingegen erarbeitet Konstrukte, die den durch solche Worte und Texte geweckten Glauben gedanklich formen.

Mit dem Sternenhimmel und dem Sand am Meer wird eine Quantität benannt, die unser Begreifen sprengt. Bevor in Abstraktionen wie "unendlich" und "ewig" Konsequenzen entfaltet und bedacht werden, ist in solchen Vergleichen der vorgegebene Horizont überschritten. Auf lange Sicht wird sich aus diesen Anfängen und aus anderen Motiven über viele Stationen ein umfassender Entwurf von Überholung irdischer Zeit- und Raum-Welt herausbilden. Es entsteht eine Eschatologie, eine "Lehre von den letzten Dingen" (F.D. E. Schleiermacher, 1768 - 1834).

Damit ist der ursprüngliche Stammesgott, der Wüsten- und Wetter-Gott Jahwe zum Herrn des Universums und einer Universalgeschichte gewissermaßen "herangewachsen". Er transzendiert die erinnerbare Vergangenheit, die Gegenwart und alle vorstellbare Zukunft. Er, der monotheistische Gott, wird zur stets gegenwärtigen und zugleich jenseitigen Instanz, religionsgeschichtlich gesehen zum "Integral" dieser Entwicklung.

Als Bundesschlüsse, die zur Abraham-Verheißung hinzutreten, seien genannt: Der Bund mit den aus Ägypten befreiten Israeliten, ihre Verpflichtung am Sinai auf rigorose kultische, ethische und soziale Standards durch Mose, der Bund mit den teilweise noch nomadisierenden "zwölf" Stämmen - ihnen wird Sesshaftigkeit zugesagt, und zwar später mit der von Vorgängern übernommenen Hauptstadt Jerusalem und einem dort residierenden König, dessen Macht allerdings theokratisch eingeschränkt ist. Nach Abspaltungen, Niederlagen und dem Verlust der Eigenstaatlichkeit erneuert Jahwe sein Versprechen an die Kindeskinder Abrahams und Saras.

Denn ihr Gott - so die Deutung - hat nicht etwa aus Schwäche sein Volk im Stich gelassen. Vielmehr hat er - gemäß einer warnenden, aber in den Wind geschlagenen Prophetie - als Schöpfer der Welt und wahrer Herr der fremden Mächte das Unheil selbst heraufgeführt. Dieser Gott stiftet jetzt endgültig die Aussicht auf ein künftiges messianisches Heil für sein Volk, ja für die ganze Welt, jenseits des bisher Erfahrenen und Erwartbaren.

Die Hoffnung richtet sich nicht mehr nur auf das Morgen und auf eine ferne, am Horizont aber noch absehbare Zeit, sondern auf die - über den apokalyptischen Zusammenbruch zugängliche - Ewigkeit. Der Einzelne ist zwar weiter dem Tod verfallen. Aber durch die - religionsgeschichtlich erst spät adaptierte - Auferstehung der Toten und das Gericht am Ende der Zeit gewinnt er Anteil an der Ewigkeit.

An diese Traditionsstränge knüpft der aus christlicher Sicht neue Bund, das N e u e Testament an. Ich verzichte darauf, die komplexe Rolle des Messias, der Gestalt Jesus Christus zu umreißen, und ebenso auf eine Gegenüberstellung von "präsentischer" (die Gottesherrschaft  i s t  nahe herbeigekommen) und "futurischer" Eschatologie (er w i r d  wiederkommen). Stattdessen zitiere ich aus einem viel späteren Text, dem Nicänischem Glaubensbekenntnis (325 n. Chr.).

"Er wird wiederkommen in Herrlichkeit,
zu richten die Lebenden und die Toten.
Seine Herrschaft wird kein Ende haben.
Wir erwarten die Auferstehung der Toten
und das Leben der kommenden Welt."

Soweit der Blick auf eine lange Entwicklung, in der auch die Begriffe  U n e n d l i c h  und  E w i g  entfaltet werden. Sie wird flankiert von dem bekannten Psalmwort: "Ehe denn die Berge wurden und die Erde und die Welt geschaffen wurden, bist du, Gott, von Ewigkeit zu Ewigkeit" (me-olam ad-olam, 90. 2).

Aber noch einmal zurück zu den zitierten Abraham-Bildern, zu den Sternen am Himmel und dem Sand am Heer.

B. M a t h e m a t i s c h

Genau das Bild vom Sand am Meer liegt einer exzellenten, jedoch selbst Fachleuten kaum bekannten mathematischen Schrift von  A r c hi m e d e s  (ca. 287 -  212 v. Chr.) in Briefform zugrunde: "Die Sandzahl". Der Autor geht aus von der vorherrschenden Ansicht: Die Zahl der Sandkörner auf der Erde ist "unendlich". Manche meinen dagegen nur: Es gibt keine  Z a h l, um die Menge der Sandkörner am Meeresufer zu beziffern. Jedoch wolle er, Archimedes, nachweisen: Durch geeignete Konstrukte ist sehr wohl eine Zahl zu benennen, die diejenige aller Sandkörner in der ganzen Welt übertrifft. Dies gelte sogar dann, wenn das als riesige Kugel gedachte Weltall, das Innere der Fixsternsphäre, aus lauter Sand bestände.

Archimedes nimmt an: Der Durchmesser jener Sphäre verhält sich zum Durchmesser der (kreisförmigen) Erdumlaufbahn um die Sonne wie dieser zum Erddurchmesser. Für die beiden letzten Größen liegen bereits erstaunlich gute Messwerte vor, wodurch die erste Größe berechenbar wird. Ferner verfügt der Autor über die von ihm selbst entwickelten genauen Berechnungsverfahren für Kreise und Kugeln (Zahl π).

Nebenbei bemerkt: Die Erde ist hier schon als Kugel gesehen. Und nicht sie, sondern die Sonne ist der Mittelpunkt des Weltalls. Das heliozentrische Weltbild ist also längst gedacht. Es hat sich gegen das Ptolemäische (geozentrische) aber nicht durchgesetzt. Erst viel später wurden jene zwischendurch verlorenen Erkenntnisse unter Schmerzen vermeintlich neu entdeckt ("Kopernikanische Wende").

Der Existenznachweis für eine "Sandzahl" liegt damit für Archimedes auf der Hand. Das Volumen a eines winzigen Sandkorns mag noch so klein sein, das Volumen B des riesigen Weltalls noch so groß - man muss und  k a n n  einen Faktor, eine natürliche Zahl N angeben mit der Eigenschaft: N * a > B.

Lässt man gedanklich die Division zu, also die Zerlegung einer Größe in gleich große Teile, so ist (als Umformung der genannten Ungleichung) zu jedem noch so riesigen B und jedem noch so winzigen a ein N benennbar mit B / N < a. Dies ist der "Satz" oder (bei anderer Gewichtung) das "Axiom" des Archimedes.

Archimedes gewinnt das angestrebte N faktisch durch die Aneinanderreihung von Zehnerpotenzen. Er geht aus von einer "Myriade von Myriaden", d. h. von 10.000*10.000 = 100.000.000. So gelangt er schließlich zu einem wahrhaft astronomischen Faktor N, den wir als "10 hoch 63" (eine Eins mit 63 Nullen) notieren würden. Diesen Wert zeigt heute jeder Taschenrechner an.

Der Zugriff auf beliebig große natürliche Zahlen ist selbstbewusst und sachlich zugleich. Im Übrigen werden die Gestirne als kosmische Mächte entmachtet, "entmythologisiert". Das hat Parallelen zur Herausbildung des Monotheismus und einer entsprechenden Eschatologie, von der oben die Rede war.

Dieses Denken beeinflusste langfristig auch den innermathematischen Umgang mit dem vorerst unscharfen Begriff UNENDLICH. Denn man fragt sich: Kann man nur immer noch weiterzählen, wenn man möchte ("potentiell unendlich"), oder lässt sich das "unendliche" Voranschreiten gedanklich mit einem festen Ergebnis. einem Zahlen- w e r t, einer Kardinalzahl abschließen ("aktual unendlich")?

Machen wir zeitlich einen Riesensprung zum Übergang vom 19. ins 20. Jahrhundert. Mathematisch ist längst die neuzeitliche Infinitesimalrechnung etabliert (Differential- und Integralrechnung, Analysis), mit glänzenden Ergebnissen mittels "unendlich kleiner" Größen. Dadurch sind gewaltige Fortschritte in Naturwissenschaften und Technik erzielt. Da erfährt durch G. C a n t o r (1845-1918) und seine Einführung des abstrakten Mengenbegriffs (Zusammenfassung von Gegenständen der Anschauung oder des Denkens) das Problem "potentiell versus aktual unendlich“ einen neuen Impuls.

Sicherlich ist die Anzahl der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, usw. "unendlich". Aber  w i e  v i e l e  sind es denn? Sind es a. B. "m e h r“ als die geraden, also 2, 4, 6, 8, 10 usw.? In  d i e s e r  Folge sind die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9 usw. ja ausgelassen.

Nach Cantor hat bei solchen unendlichen Mengen die Frage "wie viele?" nur Sinn, wenn man die Menge auf "Abzählbarkeit" überprüft, d. h. darauf, ob sich ihre "Elemente" lückenlos durchnummerieren lassen. In diesem Sinne gibt es, obwohl die geraden Zahlen nur ein echter Teil der natürlichen sind, nämlich nur ihre "Hälfte", g l e i c h - "v i e l e" gerade und natürliche Zahlen. Die Mengen sind "gleichmächtig", und zwar "abzählbar unendlich". Dies gilt auch für die "ganzen" Zahlen, bei denen zu jeder natürlichen Zahl ihr negatives Pendant und die Null gehören.

Durch verblüffend einfache Überlegungen ("Diagonalverfahren") zeigt Cantor: Auch die Menge der Brüche ("Zähler durch Nenner"), also von Zahlen-

p a a r e n, ist "abzählbar unendlich", d. h. nicht "größer" als die der natürlichen Zahlen.

Darüber hinaus aber gibt es Zahlenmengen, die sich  n i c h t  mehr abzählen lassen. Dazu gehören die "ir-rationalen", nicht als Bruch, d.h. als "Verhältnis" (ratio) natürlicher Zahlen darstellbaren Werte wie √2 (Diagonalenlänge des Einheitsquadrats) oder π. Die Mächtigkeit solcher Zahlenmengen ist "überabzählbar unendlich". Ferner gehört dazu die "Potenzmenge" der natürlichen Zahlen, d. h. die Menge aller ihrer Teilmengen. Durch schlüssige Darlegungen entsteht eine Abstufung von Mächtigkeiten im "Unendlichen". Für deren Symbolisierung wählt Cantor interessanterweise das "Aleph" (mit Zusätzen), den ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets.

Gibt es also unterschiedliche "Unendlichkeiten" oder "Ewigkeiten"? Gibt es womöglich eine aufsteigende Folge solcher Mächtigkeiten? Und wäre diese schwindelerregende Folge ihrerseits "unendlich"?

Eine Theologie, die sich stimmige Begriffsbildungen zugutehält, kann derartige Fragen nicht einfach ignorieren. Das beträfe z. B. bereits den jungen Schleiermacher. Der hatte im Überschwang des aufkommenden romantischen Zeitgeistes den Begriff "unendlich" schwärmerisch, aber wie viele seiner Zeitgenossen recht unscharf benutzt, etwa in seiner Schrift "Reden über die Religion. An die Gebildeten unter ihren Verächtern" von 1799.

Doch auch heute, über 200 Jahre später, wissen manche Theologen erstaunlich gut Bescheid über "das Unendliche" und wie es im Himmel zugeht. Da sollte man lieber einen Satz des biblischen Salomo bedenken. Der formuliert in einem Gebet zur Einweihung des neu erbauten Tempels in Jerusalem: "Der Himmel und aller Himmel Himmel können dich nicht fassen; wie sollte es denn dieses Haus tun, das ich gebaut habe?" (1. Kön. 8, 27)

"Der Himmel und aller Himmel Himmel" (haschmaim wescheme haschamaim). Diese paradoxe hebräische Genitivkonstruktion erinnert an den Begriff, mit dem der zu Lebzeiten von seinen Kollegen beargwöhnte Cantor versucht, die unendlichen Folgen von Unendlichkeiten gedanklich abzuschließen. Das löst neue Fragen, vielleicht sogar einen Kollaps durch innere Widersprüche aus.

R i s i k o  u n d  W a g n i s

Manchmal lautet ein ärztlicher Rat: Das machen wir jetzt so und so; "dann sind wir auf der sicheren Seite". Das klingt angenehm, fast als gäbe es für den Übergang von der Ungewissheit zur Sicherheit eine genau bezifferbare Markierung. Dies zu meinen wäre ein Irrtum.

Im Teilgebiet Stochastik, d. h. in der Mathematik des begründeten "Vermutens" oder der Zusammenfassung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und (beschreibender sowie beurteilender) Statistik, werden zwar seit langem nach exakten Regeln exakte Zahlenwerte berechnet. Doch diese sind immer mit den ihnen systematisch anhaftenden Unsicherheiten zu interpretieren.

Mathematisch inkompetent und für das Umfeld wie auch das eigene Anliegen schädlich war vor einiger Zeit z. B. das Vorgehen eines klinischen Mediziners. Durch Befragen von Kollegen und durch "Hochrechnen" hatte er "ermittelt", dass in den bundesdeutschen Krankenhäusern unter alten Menschen jährlich genau 14.461 Todesfälle bewusst vom Personal herbeigeführt werden.

Für die Stochastik ist die reale Grundlage meist eine riesige Datenflut. S i e  gilt es nach vernünftigen Regeln zu bändigen und zu bearbeiten, etwa durch Stichproben. Das Ergebnis sind oft tatsächlich Zahlenwerte, nach denen Einschätzungen und in der Folge Entscheidungen getroffen werden.

Eine Wurzel des Begriffes "Statistik", die Staatslenkung, deutet dies schon an. Da ist heutzutage z. B. die regelmäßige Steuerschätzung. Deren Ergebnis wird dem Publikum geradezu rituell mitgeteilt. Da sind die Prognosen und Hochrechnungen an Wahlabenden nach Schließung der Wahllokale, aber vor Abschluss der der realen Stimmenauszählung. Besonders bei knappen Ausgängen legen kompetente Moderatoren Wert auf die Feststellung, dass die fortlaufend genannten Zahlen noch Schwankungen unterliegen. Und auch diese Schwankungen werden korrekt mit Wahrscheinlichkeitswerten belegt.

Das alles bedeutet z. B. für die Adressaten der medizinischen Ermutigung "Mit der und der Maßnahme sind wir auf der sicheren Seite": In 95% (oder 99% ...) der erfassten Fälle hat die Maßnahme Schlimmes verhindert. Darum empfehle ich sie. Die Entscheidung für sie bleibt aber letztlich Ihr Wagnis.

Ein spezielles Problem: In medizinischen Diagnosen können zwei gegensätzliche Fehler auftreten; und zwar die Feststellung, der Patient  h a b e  die fragliche Krankheit, ist in Wirklichkeit aber gesund - und die Feststellung, er  h a b e  sie  n i c h t, ist in Wirklichkeit aber krank. Die Verwechslung der beiden Fehler, manchmal uneingestanden aufgrund einer Wahl nach dem "Bauchgefühl", kann gravierende Folgen haben.

Von Geburt an sind wir Risiken ausgesetzt, unangenehmen wie angenehmen Überraschungen, Zufällen. Von uns wird erwartet, dass wir Entscheidungen wagen. Hintergrund für die Risikoabschätzung kann eine kompetente, seriöse Mathematik sein. Diese ignoriert solche sensiblen Zusammenhänge keineswegs. Im Gegenteil. In den stochastischen  F a c h -begriffen treten bezeichnenderweise oft genug Wörter mit den Bestandteilen "Vertrauen" oder "Entscheidung" sowie ihre englischen Entsprechungen auf.

Die historischen Anfänge der Stochastik sind u. a. mit dem Namen B. P a s c a l (1623 - 1662) verbunden, einem französischen Mathematiker, Physiker, Schriftsteller und Theologen. In jungen, "wilden" Jahren hat er seinen Glücksspiel-Genossen 2. B. plausibel vorgerechnet, wie die Spieleinsätze "gerecht" zu verteilen sind, wenn sich die Gewinnaussichten durch den Spielverlauf geändert haben, das Spiel aber vorzeitig abgebrochen werden muss. Aus derart "unseriösen" Ansätzen hat sich in drei Jahrhunderten eine seriöse und komplexe Theorie entwickelt.

Pascal steht aber auch für einen bedeutsamen theologischen Ansatz, der erst durch postum veröffentlichte Papiere ("Pensées" - Gedanken) wirksam geworden ist. Seine persönliche Frömmigkeit wurde nach seinem Tode deutlich durch das im Rock eingenähte "Memorial" mit dem Bekenntnis "Der Gott Abrahams, Isaaks und Jakobs - nicht der Gott der Philosophen!" Französische Mathematiker haben sich später darüber mokiert: Der Mann hätte anstelle solch "alberner Zettelchen" mit seinem Scharfsinn lieber die Infinitesimalrechnung entwickeln sollen, statt diese Großtat dem Engländer Newton und dem Deutschen Leibniz zu überlassen.

Dem Ansatz von Risiko und Wagnis folgt auch die "Pascalsche Wette" aus der späteren Lebenszeit des Denkers. Mit ihr verwirft (vor Kant) und ersetzt Pascal die sogenannten Gottesbeweise. Danach kann das Gottesproblem, das den Menschen in seiner Größe und seinem Elend wie kein anderes betrifft, grundsätzlich nicht durch Beweis oder Widerlegung gelöst werden. Mit geschliffener Ironie reagiert der Denker auf das Verlangen nach einer unfehlbaren Begründung, das sich ausgerechnet an jene wendet, die ihren Glauben mit Paulus als Torheit in den Augen der Welt kennzeichnen. Durch einen  B e w e i s-versuch würden sich die Christen selbst unglaubwürdig machen. T r o t z d e m - so Pascal - kann der Christ gute, rationale Gründe haben zu glauben.

Wir Menschen, hineingestoßen in eine reale Welt mit messbarer Zeit und Ausdehnung, haben eine Ahnung vom "unendlich Kleinen" und "unendlich Großen", die an den Grenzen unserer Wahrnehmung verschwimmen. Aber am äußersten Rand wird ein Spiel gespielt, in dem wie beim Münzwurf "Kreuz" oder "Schrift" fällt. "Worauf" - so die Frage auch an den Skeptiker, der sich am liebsten nicht festlegen würde - "wollen Sie setzen?"

Die Frage, ob Gott ist oder nicht ist, wird nach Pascal also zum Gegenstand einer Wette, die man durch die eigene Festlegung gewinnen oder verlieren kann. Die Stimmenthaltung des Skeptikers wäre bereits eine negative Entscheidung.

Die vier möglichen Konstellationen "Gott existiert" / "existiert nicht", verbunden jeweils mit "Ich setze auf seine Existenz" / "auf seine Nicht-Existenz" - lassen sich in einem quadratischen Schema der Spieltheorie darstellen (H. Loeffel, Blaise Pascal, Basel, Boston u. Stuttgart 1987). Der Fall "Gott existiert", verbunden mit der Festlegung "Ich setze auf seine Existenz", ergäbe einen alles überragenden "Gewinnerwartungswert", nämlich die ewige Glückseligkeit. Darum ist es vernünftig, ja geradezu geboten, auf Gottes Existenz zu setzen und danach zu leben.

Auf ein Hinterfragen der ungenannten, recht problematischen Prämissen in diesem Denkmodell sei verzichtet. Zu unterstreichen ist aber: Hier gelangt ein ausgewiesener Vertreter des sog. exakten Denkens zu einem sehr persönlichen Ergebnis, das sich theologisch so ausdrücken lässt: Nicht Sicherheit (securitas), sondern nur Gewissheit (certitudo) kann unsere Lebensgrundlage sein.

E x i s t e n z  u n d  i n n e r s t e r  K e r n

Oben wurde als "Satz des Archimedes" skizziert: Zu jedem noch so riesigen B und jedem noch so winzigen a ist ein N benennbar mit B/N < a. Unter dieser Bedingung lässt sich entwickeln (und wurde entwickelt) eine in sich stimmige Infinitesimal-Rechnung, ein Rechnen mit dem "unendlich Kleinen".

Hier fehlt aber noch die - z. B. geometrisch erwünschte - "Vollständigkeit" der Zahlenmenge, durch die die Benennung eines  Z a h l e n -wertes etwa für die "ir-rationale" Diagonalenlänge √2 des Einheitsquadrats erst möglich wird.

Für eine feste Grundlage war der Zahlbegriff deshalb n e u zu definieren. Man musste die  E x i s t e n z  solcher nicht-rationalen Zahlen fordern und begnügte sich dann damit, dass in der Folge Widersprüche ausblieben.

Die vielleicht anschaulichste Fassung dieser Forderung ist das sog.  I n t e r v a l l s c h a c h t e l u n g s –A x i o m.

Es besagt: Wenn ich von einem Intervall [a;b] ausgehend eine unendliche Intervall-Folge so definiere, dass jedes nächste Intervall im vorausgehenden liegt und die Intervall-Länge gegen 0 geht, dann  g i b t  e s  (Existenz-Axiom!) eine Zahl, die in  a l l e n  Intervallen liegt. Noch anschaulicher: In jeder "Schachtel" steckt eine nächste, und "am Ende" (aber es gibt "eigentlich" kein Ende) steckt in allen Schachteln die betreffende Zahl, z. B. √2. Mit dem gleichen Verfahren lässt sich auch jede "bisherige" Zahl gewinnen, sie sei natürlich, ganz oder rational. Noch anschaulicher gesagt: Ich kann zoomen, zoomen, zoomen... ohne Ende. Das Ergebnis ist eine "über-abzählbare" Zahlenmenge (s. o. zu G. Cantor), die der "reellen" Zahlen, mit denen sich (bisher) widerspruchsfrei rechnen lässt.

Hat dieses Konstrukt  B e d e u t u n g  f ü r  d i e  T h e o l o g i e?

Der evangelische Theologe E. J ü n g e l  zieht in seinem Werk "Gott als Geheimnis der Welt. Zur Begründung der Theologie des Gekreuzigten im Streit zwischen Theismus und Atheismus" (Tübingen 1977) einen bekannten, bemerkenswerten Gedanken des lateinischen Kirchenvaters Augustinus aus dessen Confessiones heran. Nach umfangreichen Erwägungen zum Satz "Gott ist die Liebe; und wer in der Liebe bleibt, der bleibt in Gott und Gott in ihm" (1. Joh. 4, 16) sowie zur Auslegungstradition erörtert Jüngel in Anlehnung an Augustin die paradoxe Formulierung "Gott ist  i n n e r e r  a l s  m e i n  I n n e r s t e s"

( i n t e r i o r  i n t i m o  m e o). Dieser sprachliche Komparativ verbietet sich eigentlich. Denn er ist auf einen Superlativ gesetzt, der sich definitionsgemäß nicht weiter steigern lässt. (Wie Jüngel betont, setzt der Kontext bei Augustin allerdings voraus: Der souveräne Gott  h a t  den Menschen schon ergriffen, in ihm Wohnung genommen.)

Die zitierte Formulierung erinnert an das Intervallschachtelungs-Axiom, das Jüngel im Zusammenhang (4. Aufl., S. 404, 407, 467, 490) nicht nennt; ob er es kennt, ist nicht ersichtlich. Seine Erwähnung wäre im komplexen theologischen Text allerdings auch kaum zu erwarten.

Im Übrigen charakterisiert Augustin an der genannten Stelle Gott konträr dazu ebenfalls als  s u p e r i o r  s u m m o  m e o (höher als mein Höchstes). Offenbar hat diese Aussage ihre Parallele sowohl im Gebet Salomos zur Tempeleinweihung (der Himmel aller Himmel kann Gott nicht fassen) als auch im Bemühen Cantors, die explodierenden "Unendlichkeiten" durch eine transzendierende Kardinalzahl gedanklich abzuschließen.

Entfaltet man Jüngels Gedankengänge zum Paradox "innerer als mein Innerstes" in mathematischer oder mathematiknaher Diktion, so ließe sich sagen: Das "Zoomen" ohne Ende  f i n d e t  seinen Abschluss in der geforderten Existenz eines "Elementes" im Innern aller ineinandergeschachtelten Intervalle. Die endlose Selbst-Suche des Menschen zielt nämlich auf einen Kern, wenn es ihn denn gibt. Das Ziel ist Identität, die letztgültige Bestätigung. Die aber kann das "Selbst" "selber"  n i c h t  leisten, sondern nur als ein Geschenk erfahren. Als das Geschenk, geliebt, angenommen zu sein, und zwar durch Gott, der sich damit definiert.

Die Frage, was dieser Gedankengang für den Begriff "Existenz" austrägt, auch für die "Existenz Gottes", sei dahingestellt.

E x k u r s :  D e r  R e g e n b o g e n

Als Beispiel für unterschiedliche Sichtweisen im Spannungsfeld "Konstrukt und Vertrauen" betrachten wir den seit Menschengedenken wohlbekannten, als Erscheinung unveränderlichen Regenbogen.

Nach vereinfachender physikalisch-mathematischer Modellannahme entsteht er (manchmal mit einem Nebenbogen) durch (mehrfache) Brechung und innere Spiegelung parallel einfallender Sonnenstrahlen. Das geschieht in unermesslich vielen, kugelförmig gedachten Regentropfen. Dabei wird das weiße Sonnenlicht in seine Spektralfarben zerlegt.

Den einzelnen Betrachter erreicht immer nur ein bestimmter, geometrisch von seinem Standort abhängender Teil des reflektierten Lichtes. Es kommt ihm aber so vor, als spanne sich über den noch regenverhangenen Horizont gegenüber der wieder scheinenden Sonne der farbige Teil-Bogen eines Kreises. Ein "realer" Gegenstand in der Ferne wie etwa eine heranrückende Gewitterfront, eine Bergspitze oder gar ein Himmelskörper ist der Regenbogen nicht. Jeder sieht gewissermaßen seinen eigenen Bogen. Denn schon das Auge des Nachbarn treffen Strahlen aus anderen Regentropfen. Im Übrigen "befindet" sich der Regenvorhang meist dichter beim Betrachter, als dieser meint. Das verdeutlicht der private, "hautnahe" Regenbogen, den jeder etwa durch das Sprengen des Rasens bei Sonnenschein erzeugen kann.

Bemerkenswert scheint mir: Die mathematisch-physikalische Erklärung der subjektiv und universal wahrnehmbaren Erscheinung stützt eher noch die mythische und religiöse Deutung, statt sie zu "entzaubern". In der  N o a h -Tradition wird der Regenbogen bekanntlich zum Zeichen eines unbefristeten Bundes. Dieses Bündnis wendet nach überstandener Katastrophe die erneute Bedrohung durch ein ultimatives Ereignis ab (Gen. 9, 12-18). Der Stifter des Bundes, der Schöpfer- und Wettergott, setzt den Menschen ein Signal, das in seiner Augenfälligkeit überdimensional an den Schutz durch den Bogen als Kriegswaffe erinnert. Das hebräische Wort (käschät) enthält beide Bedeutungen. Auch im Neuen Testament ist am Schluss (Apok. 4, 3; 10, 1) das Motiv vom Regenbogen (griechisch Iris) wieder aufgenommen.

Die Zusage an Noah, es werde keine Sintflut mehr geben, ist allerdings verbunden mit der Tabuisierung des Blutes als Träger des animalischen Lebens. Daraus leiten bis heute manche das Verbot jeglichen Blut- (oder sogar Fleisch-) Verzehrs ab. Selbst für eine Lebensrettung notwendige Bluttransfusionen werden abgelehnt.

Dieser "vorkultische" und "vormoralische" Aspekt lässt sich aktuell (über-)interpretieren als Warnung, nicht durch eigenes Tun oder Unterlassen die Lebensgrundlagen auf dem Planeten Erde zu zerstören.

R ü c k b l i c k :  O r i e n t i e r u n g

Soweit einige Überlegungen zur Beziehung von Theologie und Mathematik. Beide untersuchen jeweils Strukturen, entwickeln Konstrukte, stimmige Gedankengebäude. Beide setzen für ihre Arbeit Vertrauen voraus und erweitern in ihr und durch sie das Vertrauen. Beide bieten in unterschiedlicher Weise Orientierung an.

Der russische Dichter L. T o l s t o j  (1828 - 1910), theologisch und mathematisch bewandert wie ambitioniert, fragt im Nachwort zu seiner Novelle "Die Kreutzersonate": Welche Richtschnur für ein ethisch annehmbares Verhalten ist aus dem Evangelium, insbesondere aus der Bergpredigt zu gewinnen? Die Bergpredigt erscheine bekanntlich vielen als unerreichbares Ideal und daher als unbrauchbar fürs wirkliche Leben.

Das mag sein. Tolstoj jedoch schreibt zum Schluss (Zitat der letzten drei Sätze):

"Solange sich ein Schiffer noch unweit des Ufers befindet, kann man zu ihm sagen: 'Richte dich nach jener Höhe, jener Landzunge, jenem Turm', und so weiter. Aber es kommt der Augenblick, wo sich der Schiffer so weit vom Ufer entfernt haben wird, dass ihm nur noch die unerreichbar fernen Himmelslichter oder der Kompass die Richtung weisen können und dürfen. Und das eine wie das andere ward uns zuteil."

Als Nachtrag sei mit kleinerer Münze und mit Blick auf das einzelne Leben ergänzt: Im Glücksfall werden wir (schon vor der und) durch die Geburt eingebettet in ein Vertrauen, das sich fortentwickelt und ausweitet. Wir erreichen Einsichten, konstruieren, schmieden Pläne, revidieren, korrigieren, finden uns mehr oder weniger zurecht. Wir erlangen Perspektiven, streben Ziele an. Wir können festen Boden unter den Füßen gewinnen, eine Antwort sogar auf die Frage, was unser einziger Trost im Leben und im Sterben sei (Heidelberger Katechismus, Fr. 1). Wenn wir Sinn für ihre Denkweisen haben, können zu gegebener Zeit die beiden Disziplinen, von denen hier die Rede war, zum Gelingen beitragen.

Auf dieser Seite veröffentliche ich - auf Wunsch meines Großvaters - seine Texte zum Thema der Mathematik und Theologie.